INDEX u.Kronecker-Produkt (3/4-Tensor - 3.Forts.)

Hallo, Formelspezialisten;
hiermit liefere ich nach den ersten 3(4) Teilen mit Anwendungen eines 3Tensors (Qbus-Typ Tribus) für Tabellenobfuskation (in Gestalt eines Julklapp- bzw Weihnachtspäckchens) und eines 4Tensors (Qbus-Typ Quadus) als Zitate-Silbenrätsel¹ noch eine üblichere praktische Anwendungsmöglichkeit nach. In Technik, bestimmten Naturwissenschaften, zB Chemie, Physik, Astronomie, und auch in der Informatik kommt dem Kronecker-Tensor-Produkt eine große (und wachsende) Bedeutung zu, um viele Ausprägungen zahlreicher Eigenschaften eines Objekts in Kombination übersichtlich² bzw komprimiert darstellen zu können.
Hierbei handelt es sich um die Multiplikation 2er Matrizen, wobei jedes Element der ersten mit der ganzen 2. Matrix multipliziert² wird. Eine solche Operation würde einen 4dimensionalen Tensor als Ergebnis erzeugen, der natürlich nicht auf einen 2dimensionalen Zellbereich abgebildet wdn könnte, weshalb man sich in der Mathematik mit in einer (größeren) Matrix positionierten Matrizen behilft, um alle Ergebnisse lesbar zeigen zu können. Das bereitet natürlich in einem einfachen Kalkulationspgm diverse Probleme, falls es dafür keine spezielle Fkt gibt (zB anderswo Kron) wie bspw für das Skalar- und das Matrizenprodukt, die beide aber auch noch Summationen beinhalten.
Abb 1: Userbild

Die Abbildung zeigt einen 3Tensor, dessen Struktur als hintereinanderliegende Matrizen aufgefasst wdn kann, und die räumliche Projektion (auf 3 Dimensionen) eines 4Tensors mit ebenfalls 2×2 primären Elementen (insgesamt ×4=16), wobei die 4 Sekundärmatrizen geometrisch hinter- und ineinanderliegend vorgestellt wdn müssen.
Trotzdem kann man in Xl³ nicht nur relativ fml-aufwendig eine 2dimensionale Darstellung aller Einzelprodukte erreichen (1.1 in Abb 3), sondern mit einem wohl kaum bekannten INDEX-Trick⁴ auch die positionsabhängige Berechnung der Teilmatrizen, wobei dann allerdings nur deren erste Werte (links oben) angezeigt wdn können (1.2 in Abb 3).
Abb 2: Userbild

Diese Abbildung macht den Grund für die Nicht-Darstellbarkeit solcher Tensoren deutlich → hier wird eine ganze Matrix einem Element einer übergeordneten Matrix zugewiesen. Xl hat nicht die Mittel, so etwas als Gesamtmatrix (2Tensor) abzubilden. Auch eine Matrixkonstante hat diese nicht, denn hierfür wäre ein weiteres Trennsymbol (neben Spalten- und Zeilentrenner) erforderlich. Mit einer geeigneten UDF (hier VJoin, unpublizierte Version 1.5) kann man dieses Problem aber umgehen, wie 2.0 in der folgenden Abbildung zeigt.
Abb 3: Userbild

Die verschiedenen Zellfarben folgen hier der Rechenmethode, wobei ganze so dargestellte Zellbereiche mit gestrichelten Linien in Einzelzellen unterteilt wurden, falls sie in den Ergebnismatrizen auch einzeln berechnet wdn. Wer die Berechnung von 2.0 nachvollziehen will und nicht über die erforderliche Version 1.5 der UDF VJoin verfügt, kann auch die Version 1.4 benutzen und auf Grundlage ihres Ergebnisses weiterrechnen oder folgende Fml benutzen:
{="{"&WECHSELN(WECHSELN(VJoin(INDEX(INDEX(W2:X3;ZEILE(A1:A2);SPALTE(A1:B1))*INDEX(Z2:AA3;;;1^Z2:AA3);;;1^Z2:AA3);;-2);" ";";";2);" ";",")&"}"}
Diese UDF-Version ist ebenso wie TxEval im Archiv enthalten. Die UDF FlexArr nicht, aber die zeigt hier auch nur einen Nebeneffekt ihres eigentlichen Zwecks → Expansion einer pluralen Matrixformel von 2 markierten Zellen auf die angegebene Größe (in Markierungsrichtung und mit Zellformaten inkl Rahmensetzungslogik).
__________
¹ Z.Z. noch unter diesem Link (ca 5 Tage) beantwortbar.
² Für eine rein 2dimensionale Vergrößerung einer Matrix wird dabei eine gleichgroße Einheitsmatrix verwendet.
³ In LO/OOcalc fktioniert die in Abb 3 benutzte Fml nicht auf gleiche Weise wie in Xl und liefert deshalb andere (ihrer) Ergebniswerte, wobei unklar bleibt, ob das nur an der positionsgesteuerten Rückgabe oder bereits an der Berechnung liegt.
⁴ Ein anderer, aber vglbarer Trick wird auch verwendet, um die Einbeziehung aller Ausgangswerte und die Rückgabe des richtigen Ergebnisses dualer Matrixformeln auf INDEX-Basis zu ermöglichen.
Bei Interesse sachdienliche Kommentare erbeten! Gruß, Luc :-?
PS: Eine kopierbare HTML-Darstellung der Abb 3 wird auf online-excel.de und ein Link hierher auch auf office-loesung.de erscheinen.
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Falls jemand die Fmln nachvollziehen möchte, ohne sie abschreiben zu müssen, hier nun noch die Abb3 als HTML-Tabelle mit einer kleinen Korrektur in Zelle AD19, in der die Anzahl der unterschiedlichen Fktt der Fml angegeben ist, wobei in [] die AnzahlTotale steht, die hier natürlich nicht =0 sein kann, sondern ≥ der 1.Zahl sein muss. Die Differenz resultiert dann aus den Wiederholungen bestimmter Fktt.
Die Tabelle kann auch ohne ihre Ränder kopiert wdn, sollte dann aber auf den durch sie bestimmten ZellBereich übertragen wdn, damit die dargestellten Fmln nicht angepasst wdn müssen (anschließend kann ja verschoben wdn). Verlaufsfarben (in 2 Zellen) wdn dabei von Xl nicht adäquat umgesetzt, da dafür in HTML mangels einheitlicher Norm redundante Angaben erforderlich sind, die Xl14/2010 nicht richtig interpretieren kann.

Kronecker-Tensor- Produkt Berechnung mit Hilfe der Xl-Funktion INDEX								5	6	2Tensor	4	2	2Tensor	*Formeln*	*Funktionen*	7	8	M₁	3	1	M₂	*Länge/MaxTiefe*	*gesamt/dar UDF*	Simulationsfml:	{=FlexArr(FlexArr(FlexArr("#";"2.");"4.";;1)FlexArr(FlexArr("#1";"2.");"4.");"4.")}*					82/3	1[5]/1	1.1 Abbildung des Ziel-Tensors auf eine rechteckige (größere) Matrix					1.2 4Tensor im/aus Xl-Berechnungsraum			20	10	24	12	M₁⊗M₂	(so ist nur die 1.Subebene darstellbar)			15	5	18	6		20	24	Formel ergibt nur	28	14	32	16	^©LSr	28	32	in Xl diese Werte!	21	7	24	8			125/4	5[10]/0	W6[:Z9]:=INDEX(INDEX($W$2:$X$3;GANZZAHL(ZEILE(A2)/2);GANZZAHL(SPALTE(B1)/2))$Z$2:$AA$3;REST(ZEILE(A1)-1;2)+1;REST(SPALTE(A1)-1;2)+1)*								2.0 Ermittlung u. Abb aller (Sub-)Ebenen des Ziel-Tensors (sekundär m.Matrixkonstanten*)						* US-Form wg Auswerten m.TxEval		{20,10;15,5}	{24,12;18,6}		AB7[:AC8]: {=INDEX(INDEX($W$2:$X$3;ZEILE(A1:B2);SPALTE(A1:B2))INDEX(Z2:AA3;;;1^Z2:AA3);0;0)}*					{28,14;21,7}	{32,16;24,8}		Äußeres INDEX dient nur der Kontrolle per Fml-Assi u. ist hier irrelevant.			80/3	3[5]/0	W12:X13: {=VJoin(INDEX(INDEX(W2:X3;ZEILE(A1:A2);SPALTE(A1:B1))INDEX(Z2:AA3;;;1^Z2:AA3);;;1^Z2:AA3);",;";2)}*					VJoin**, Version 1.5	97/4	4[6]/1	2.1 Abbildung des Ziel-Tensors auf eine rechteckige Matrix (aus 2.0)					2.2 Sekundärmatrizenübernahme (aus 2.0)			20	10	24	12	M₁⊗M₂	(so ist nur die 1.Subebene sichtbar)			15	5	18	6		20	24	Quadus aus Daten-	28	14	32	16		28	32	übernahme m.Fml	21	7	24	8	AB17[:AC18]:=TxEval(W12)		12/1	1[1]/1	W16:X17[;Y16:Z17;W18:X19;Y18:Z19]: {=TxEval(INDEX($W$12:$X$13;GANZZAHL(ZEILE(B2)/2);GANZZAHL(SPALTE(B2)/2)))}						72/4	5[6]/1	1.2 und 2.2 zeigen, dass in einem 4dimensionalen Tensorprodukt aus 2 Matrizen alle Ergebnismatrizen geometrisch hinter- und ineinander liegen, aber im virtu-								ellen Xl-Rechenraum natürlich voneinander getrennt sind. Dass dabei alle Werte des Tensorprodukts normal berechnet werden, zeigt letztlich gerade 2.0 - qed!

Inzwischen liegt auf Office-Loesung von snb sowohl eine klassische UDF- als auch eine plurale MatrixFml-Lösung (für die gesamte größere Matrix) vor. Letztere (für 1.1) lautet übersetzt so:
{=INDEX($A$1:$B$2;GANZZAHL((ZEILE(1:4)-1)/2)+1;GANZZAHL((SPALTE(1:4)-1)/2)+1)*INDEX($D$1:$E$2;REST(ZEILE(1:4)-1;2)+1;REST(SPALTE(1:4)-1;2)+1)}
Natürlich ist die geometrische Darstellung eines 4Tensors nur an eine bekannte geometrische Projektion eines 4dimensionalen Würfels in den 3dimensionalen Raum angelehnt*. Ein 3dimensionaler Würfel kann ja bekanntlich auch als Abbildung seiner sechs 2dimensionalen Flächen dargestellt wdn, quasi als Faltvorlage. Ein 4dimensionaler Würfel würde dann wieder 6 Würfel statt dieser Flächen zeigen, wenn er räumlich projiziert wird. Zusammengeklappt würden diese Würfel alle ineinanderliegen, was Abb1 andeutet. Ein 4Tensor als Produkt 2er 2×2 Matrizen besteht hier demggüber aber nur aus 4 Subebenen, die durch die Anzahl der Elemente der Primärmatrix bestimmt wdn. Wie man sich diese angeordnet vorstellen könnte, zeigt die Abb2. Diese hätte auch so angelegt wdn können, dass sie einen Würfel mit nur 4 Seiten (analog der 4 Subebenen) zeigt, aus denen die Elemente der Subebenen herausragen. Das wäre aber nur bei diesem einfachen Modell so. Größere Sekundärmatrizen ließen sich so nicht mehr einer Primärmatrix zuordnen. Deshalb wurden die Subebenen zwischen Subebene 1.1 (auf der Primärmatrix) und Subebene 2.2 (die angedeutete „Rückwand“) in Abb2 nur angedeutet. Für die Dimensionierung eines VBA-Arrays ist das ohnehin irrelevant, denn die Anzahl seiner Dimensionen vergrößert sich ja nicht mit steigender ElementeAnzahl von Primär- u/o Sekundärmatrizen.
__________
* Die Einteilung in Ebenen, hier als Scheiben dargestellt, ist einschlägigen Artikeln entlehnt (allerdings vornehmlich für 3Tensoren gebraucht).
Luc :-?

Rem Wandelt MxKonstt in TxtForm (US-OrigNotat) bzw als Fml in echte Matrizen um ' Sind diese in 1 Matrix or 1 Zellbereich lt Arg1 angeordnet, wdn sie, sofern ' möglich, in Reihenfolge ihrer OriginPositionen in Analogie zur b.Kronecker- ' Produkt 2er Matrizen üblich Methode in 1 größere gemeins Matrix expandiert. ' Vs1.0 -LSr:CyWorXxl -cd:20180302 -1pub:20180309h -lupd:20180308n Function TensEx(Bereich) '(TensorExpand) Const txVgl$ = "{*[,;]*}" Dim cc As Long, cck As Long, ccs As Long, cct() As Long, cx As Long, cxt As Long, _ rc As Long, rck As Long, rcs As Long, rct() As Long, rx As Long, rxt As Long, _ ber, gBer, xBer, xErg, zwE, zwErg As Variant, _ zBer As Range, wf As WorksheetFunction On Error Resume Next: Set wf = WorksheetFunction If TypeName(Bereich) = "Range" Then Set zBer = Bereich If IsArray(Bereich) Then gBer = Bereich If IsError(LBound(gBer, 2)) Then rc = 1: cc = UBound(gBer) + 1 - LBound(gBer) Else: rc = UBound(gBer, 1) + 1 - LBound(gBer, 1) cc = UBound(gBer, 2) + 1 - LBound(gBer, 2) End If ReDim xBer(rc - 1, cc - 1), rct(rc - 1), cct(cc - 1) For Each ber In gBer zwErg = Empty: GoSub eb If Not IsArray(zwErg) Then ReDim Preserve zwErg(0) If IsError(LBound(zwErg, 2)) Then rct(rx) = 1: cct(cx) = UBound(zwErg) + 1 - LBound(zwErg) Else: rct(rx) = UBound(zwErg, 1) + 1 - LBound(zwErg, 1) cct(cx) = UBound(zwErg, 2) + 1 - LBound(zwErg, 2) End If xBer(rx, cx) = zwErg: rx = (rx + 1) Mod rc: cx = cx - CInt(rx = 0) Next ber rcs = wf.Sum(rct): ccs = wf.Sum(cct): rx = 0: cx = 0 If CBool(rcs) And CBool(ccs) Then ReDim xErg(rcs - 1, ccs - 1) ElseIf CBool(rcs) Then ReDim xErg(rcs - 1, ccs) ElseIf CBool(ccs) Then ReDim xErg(rcs, ccs - 1) Else: ReDim xErg(rcs, ccs) End If For Each ber In xBer rxt = 0: cxt = 0 If Not IsEmpty(ber) Then For Each zwE In ber xErg(rck + rxt, cck + cxt) = zwE rxt = (rxt + 1) Mod rct(rx): cxt = cxt - CInt(rxt = 0) Next zwE rx = (rx + 1) Mod rc If CBool(rx) Then rck = rck + rct(rx - 1) Else: cx = cx + 1: rck = 0: cck = cck + cct(cx - 1) End If End If Next ber TensEx = xErg Else: ber = Bereich eb: If Not zBer Is Nothing Then With zBer.Cells(rx + 1, cx + 1) If .Value Like txVgl Then ber = .Value ElseIf .HasFormula Then ber = Mid(.Formula, 2) End If End With If Not ber Like txVgl Then zwErg = ActiveSheet.Evaluate(ber) If IsError(zwErg) Then TensEx = CVErr(Err.Number): GoTo ex If IsArray(zwErg) Then ElseIf zwErg Like txVgl Then ber = zwErg: zwErg = Empty End If End If End If If IsEmpty(zwErg) And (ber Like txVgl Or ber Like "=" & txVgl) Then zwErg = ActiveSheet.Evaluate(ber) If IsError(zwErg) Then TensEx = CVErr(Err.Number): GoTo ex ElseIf IsEmpty(zwErg) Then TensEx = CVErr(xlErrRef): GoTo ex End If If Not IsEmpty(gBer) Then Return TensEx = zwErg End If ex: gBer = Empty: xBer = Empty: xErg = Empty: zwErg = Empty Set zBer = Nothing: Set wf = Nothing End Function

Function TensEx(Bereich, Optional ByVal Ebene) Const txVgl$ = "{*[,;]*}" Dim cc As Long, cck As Long, ccs As Long, cct() As Long, cx As Long, cxt As Long, _ rc As Long, rck As Long, rcs As Long, rct() As Long, rx As Long, rxt As Long, _ isLevel As Boolean, ber, gBer, xBer, xErg, zwE, zwErg As Variant, _ zBer As Range, wf As WorksheetFunction On Error Resume Next: Set wf = WorksheetFunction isLevel = Not IsMissing(Ebene) If TypeName(Bereich) = "Range" Then Set zBer = Bereich

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