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Gruppe: Iteration - BEITRAG: Grafischer Nachweis der Mandelbrot-Menge (Video-Tutorial)


Aufgabe
Wie kann die Mandelbrot-Menge (Apfelmännchen) durch Iterationen in einem Punkt(xy)-Diagramm angezeigt werden ?

Einen richtig guten Fraktalgenerator findest Du im Tip. 76




Erläuterung
Wie wird die Mandelbrotmenge überhaupt sichtbar gemacht? Durch Iteration der einfach genialen und genial einfachen Formel:
Zn+1=Zn^2+C.
Zn und C sind komplexe Zahlen, die jeweils aus einem Realteil bestehen (Zr;Cr) und einem Imaginärteil (Zi;Ci). Der Realteil wird immer zuerst angegeben. Folglich gilt Zn = Znr+Zni und C = Cr+Ci. Die Iteration startet immer mit Z0=0+0i. Für C wird ein Wert im Bereich -2 < Cr < +1 und -1,5 < Ci < +1,5 gewählt. Innerhalb dieser Grenzen existiert die Mandelbrotmenge. Sie ist definiert als die Menge an Punkten, bei denen Zn2+C nach n Iterationsschritten keinen Realteil von größer als ca. 2 bis 4 (Absolutwert ohne Vorzeichen) aufweist. Ist dies der Fall, gehört der Punkt C zur Mandelbrotmenge. Sie wird dargestellt in einem zweidimensionalen Koordinatensystem, wobei der x-Wert dem Realteil von C und der y-Wert dem Imaginärteil von C entspricht. Hat der Absolutwert des Realteils von Zn2+C den Wert 4 überschritten, wird die Iterationsfolge unweigerlich divergieren, ins Chaos abdriften und liegt somit außerhalb der Mandelbrotmenge. Es spielt nicht nur eine Rolle, ob die Folge divergiert, sondern auch wann, also nach wie vielen Iterationsschritten. Wenn man von der Anzahl der Schritte den Farbton des Koordinatenpunktes abhängig macht, entsteht die fantastische Farbenvielfalt im Grenzbereich zwischen Chaos und Ordnung der Mandelbrotmenge.