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Gruppe: Diagramme - BEITRAG: Was verbirgt sich hinter dem goldenen Quader


Aufgabe
Der Goldene Quader heißt nicht so, weil er aus Gold gemacht ist, sondern weil sich seine Abmessungen zueinander nach der GesetzmĂ€ĂŸigkeit des Goldenen Schnittes verhalten:

Höhe/Breite = Breite/LĂ€nge = VerhĂ€ltnis der kleineren zur grĂ¶ĂŸeren Teilstrecke einer nach dem Gesetz des Goldenen Schnittes geteilten Gesamtstrecke.

Die Berechnung seiner geometrischen GrĂ¶ĂŸen (bei einer Breite = 1)

1) Volumen
2) OberflÀche
3) Raumdiagonale von vorne, unten, links nach hinten, oben, rechts
4) VerhĂ€ltnis der OberflĂ€che des Goldenen Quaders zur OberflĂ€che der umgebenden Kugel, die alle seine Ecken berĂŒhrt.

ergibt verblĂŒffende Ergebnisse
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Lösung
Die verblĂŒffenden Lösungen beruhen auf verblĂŒffenden Eigenschaften der Zahl Phi, die das VerhĂ€ltnis der grĂ¶ĂŸeren zur kleineren Teilstrecke einer im Goldenen Schnitt geteilten Gesamtstrecke angibt:

Phi = (WURZEL(5)+1)/2.

Das interessante an der Zahl Phi ist, dass ihr Kehrwert 1/Phi genau um 1 kleiner ist als sie selbst:

1 / Phi = Phi – 1

Mit etwas Algebra und den gegebenen Dimensionen:

Breite = 1
Höhe = Breite / Phi = 1 / Phi = Phi -1
LĂ€nge = Breite * Phi = 1 * Phi = Phi

kommen diese Ergebnisse raus:

1) Volumen = 1
2) OberflÀche = 4 * Phi
3) Raumdiagonale = 2
4) OberflÀchenverhÀltnis Goldener Quader zu umgebender Kugel = Phi / Kreiszahl Pi.
Wenn man die Diagonale kennt, dann kennt man den Radius der umgebenden Kugel. Er ist die halbe Raumdiagonale, weil jede der acht Ecken von der Mitte des Goldenen Quaders gleich weit entfernt ist. Eine Kugel mit dem Radius 1 hat eine OberflÀche von 4 * Pi und somit wird das OberflÀchenverhÀltnis Phi/Pi, eine ungewöhnlich einfache Beziehung zwischen Phi und Pi.

Diese vier Lösungen erhĂ€lt man auch ohne große Algebrakenntnisse, wenn man folgende Formeln in Excel eingibt

Einmal Phi ausgerechnet:
A1: =(WURZEL(5)+1)/2

1) Volumen
=A1*1*1/A1

2) OberflÀche
=2*A1*1+2*A1*1/A1+2*1*1/A1
und =2*A1*1+2*A1*1/A1+2*1*1/A1=4*A1 'beweist', dass die OberflÀche = 4*Phi ist.

3) Raumdiagonale
Diagonale = Wurzel aus der Summe der Quadrate von LÀnge, Breite und Höhe
=WURZEL(A1^2+1^2+(1/A1)^2)

4) OberflÀchenverhÀltnis
eine Kombination der Formeln fĂŒr die KugeloberflĂ€che 4 * r^2 * Pi, Diagonale und QuaderoberflĂ€che wird mit dem VerhĂ€ltnis Phi zu Pi verglichen:

=4*(WURZEL(A1^2+1^2+(1/A1)^2)/2)^2*PI()/(2*A1*1+2*A1*1/A1+2*1*1/A1)=PI()/A1