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Zufallszahlen gleichverteilt - normalverteilt ?

Forumthread: Zufallszahlen gleichverteilt - normalverteilt ?

Zufallszahlen gleichverteilt - normalverteilt ?
18.03.2004 16:19:08
Alex
Hallo Excel Forum!
Ich erzeuge Zufallszahlen mit der Funktion „=ZUFALLSZAHL()“, von der ich denke, dass diese eine Gleichverteilung unterliegt.
Kann mir jemand sagen, ob meine Annahme richtig ist und ob die Möglichkeit besteht normalverteilte Zufallszahlen zu simulieren und wenn ja wie?
Besten dank für eine mögliche Antwort!
Gruß
Alex
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16
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Datum
Anwender
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AW: Zufallszahlen gleichverteilt - normalverteilt ?
18.03.2004 17:10:18
Karl-Otto Reimann
Hallo Alex
Wenn Du eine gößere Menge Zufallszahlen erzeugst (größer 1000),
dann wird mit zunehmender Menge der absolute Unterschied
zwischen den einzelnen Häufigkeiten der einzelnen Zahlen
größer, der prozentuale aber kleiner. In diesem Sinne
sind die Häufigkeiten normalverteilt (im weiteste Sinne
gleichverteilt). Erst bei sehr großen Mengen wird es Dir
gelingen, aus der 3-fachen Standardabweichung rauszukommen.
Allerdings erzeugt Excel auch !negative Zufallszahlen.
Ein Blick ins Archiv von Heise.de hilft weiter.
Gruß
Karl-Otto
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neg. Zufallszahlen in Excel03 durch Hotfix behoben
18.03.2004 17:39:10
Axel
Das mit den negativen Zahlen betrifft aber nur Excel 2003, da dort ein neuer Algorithmus zum Tragen kommt.
Mircosoft hat das Problem mittlerweile behoben:
http://support.microsoft.com/default.aspx?kbid=833618
Gruß
Axel
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AW: Zufallszahlen gleichverteilt - normalverteilt ?
18.03.2004 17:42:13
Uwe
Hallo, Axel!
Die Zufallszahlen, die die EXCEL-Funktion =ZUFALLSZAHL() erzeugt, sind gleichverteilt, so wie Karl-Otto schon erwähnt, mit zunehmender Anzahl von Ergebnissen, ergibt sich eine zunehmend gleiche Anzahl von Zahlen je Rang.
Wenn Du eine Normalverteilung der Zufallszahlen erzielen willst und die Standardabweichung Dir vorgibst (besser aus bekannter Realisierung ermittelt), dann dürfte die Zellenformel
=NORMVERT(ZUFALLSZAHL();0;sigma;)
Hier wird die Wahrscheinlichkeit errechnet, die sich auf der Grundlage einer Normalverteilung mit einer einfachen Standarsabweichung sigma und dem Mittelwert Null ergibt (ca. 68?% aller Werte liegen im Wertebereich von +/-sigma um den Mittelwert.
Die mit dieser Formel erzeugte Zufallszahlen, sollte normalverteilt sein.
Gleichbedeutend hierzu ist die Transformierung einer gleichverteilten Zufallszahl n der Summenkurve einer Normalverteilung.
Hoffe mit dieser Skizze Ideen zur Umsetzung geliefert zu haben.
Gruß,
Uwe
en Mittelwert ,
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AW: Zufallszahlen gleichverteilt - normalverteilt ?
18.03.2004 18:55:30
Ralf
Wie könnte denn eine Normverteilung aussehen?? Oder wie ist diese zu ermitteln?
AW: Zufallszahlen gleichvert -T- normalvert
18.03.2004 19:29:33
Uwe
Das ganze sieht grafisch so aus:

Userbild

Mit der gleichverteiten Zufallszahl =ZUFALLSZAHL() wir auf der Ordinatenachse (senkrechte) der Wert fixiert. Nun wird die horizontale gezeichnet bis zum Schnittpunkt mit der Summenkurve. Das Lot auf die Absizze liefert die Differenz zum Mittelwert des normvert. Zufallswertes.
Eine Serie von Zufallszahlen, die mit dieser Vorgehensweise zusammengestelt wird, liefert bei hinreichend großer Anzahl der Datenpunkte, die statischten Kenngrößen der unterstellten Normalverteilung.
Natürlich läßt sich dies alles wesentlich besser in VBA-Code formulieren als mit Zellenformeln. Wenn Zeit und Interesse vorhanden, kann es ja einmal im Konzept von mir oder jemanden hier entworfen werden, sofern es nicht bereits fertigte Lösungen dazu gibt, was ich mir durchaus vorstellen könnte.
Gruß,
Uwe
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AW: Zufallszahlen gleichverteilt - normalverteilt ?
18.03.2004 21:00:09
Karl-Otto Reimann
Hallo Ralf
Hier ein Vorschlag:
https://www.herber.de/bbs/user/4462.xls
Gruß
Karl-Otto
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AW: Danke, Karl-Otto, ...
18.03.2004 21:45:08
Uwe
...für die Demo-Datei (in der z.Z. geladenen Fassung fehlt die Funktion ZUFALLSBEREICH(x0, x1), die ich wie folgt ergänzt habe:

Function ZUFALLSBEREICH(a0 As Integer, a1 As Integer)
ZUFALLSBEREICH = (a1 - a0 + 1) * Rnd()
End Function

Sie zeigt sehr schön, dass die generierte Zufallszahl annähernd gleichverteilt ist.
Eine (standard)normaverteilte Zufallszahl tendiert zur Bildung der "Glockenkurve" (auf dem ehemaligen 10DM dargestellt bzw. rote Kurve in meinem Diagramm zuvor), also zur Häufung im Bereich des Mittelwertes mit einer definirbaren Standardabweichung. Je größer diese wird, umso mehr nähert sich die Verteilung der gleichverteilung. In meinem Diagramm würde die bedeuten, dass die grüne Summenkurve, sich immer mehr an eine 45°Grad-Geraden anschmiegt.
Gruß,
Uwe
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AW: Zufallszahlen normalverteilt (Näherung)
18.03.2004 23:05:30
Uwe
Hallo, Karl-Otto,
ich habe mir erlaubt, eine einfache Näherungsformel für normalverteilte Zufallszahlen in Deine Arbeitsmappe einzubauen.

Function ZUFALLSBEREICH_NV(a0 As Integer, a1 As Integer)
Dim z1 As Double, z2 As Double, w As Double
Dim r As Double, phi As Double
Dim x As Double, y As Double
Dim pi As Double
pi = 4 * Atn(1)
w = -1
While w < 0
z1 = (a1 - a0 + 1) * Rnd()
w = -2 * Log(z1) / Log(10)
Wend
r = Sqr(w)
z2 = (a1 - a0 + 1) * Rnd()
phi = 2 * pi * z2
x = r * Cos(phi)
y = r * Sin(phi)
ZUFALLSBEREICH_NV = (a1 - a0 + 1) * Sqr(x * x + y * y) / 2
End Function

Der Aufruf der Funktion muss entsprechend angepasst werden. Ggf. kann der Wertebereich der Zufallszahl noch erhöht werden um die Glockenform zu verdeutlichen, obwohl diese auch bei den Grenzen [0,10) erkennbar wird.
Natürlich könnte man nun noch ein Wahlschalter in das Arbeitsblatt einbauen, so dass man deutlich den Unterschied zwischen Gleichverteilung und Normalverteilung sieht (die Fehlerindikatoren solten gelöscht werden), aber es wird ja, dank Deiner Vorarbeit auch wohl so deutlich, was zu beachten ist.
Gruß,
Uwe
P.S.
Wenn weitere Fragen, versuche ich Sie gerne mit Euch zu klären, doch vielleicht gleiten wir hier langsam in das Fachgebiet der Statisik ab und verlieren EXCEL aus den Augen.
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AW: Zufallszahlen gleichverteilt - normalverteilt ?
19.03.2004 01:43:45
Uwe
Lesen, bildet; und so hat auch mich das Studium der Liste der in EXCEL verfügbaren Statistik-Funktionen fündig werden lassen.
Es gibt die Funktion x = NOMINV( y, m, s ), die das invertierte Gegenstück zur Verteilungsfunktion y = NOMVERT( x, m, s ) darstellt, und die zu vorgegeben p=Element[0,1) das p-Quantil liefert. Matematisch geschrieben:
F(X)N(m;s^2 = NOMVERT(x,m,s^2) := Verteilungsfkt. der N(m;s^2)-verteilte Zufallszahl X.
F-1(p) = NOMINV( y, m, s ) mit y = element [0;1)
Der NOMINV-Graph entspricht dem Graphen, der in den bisherigen Diagrammen in gün gezeichnet ist.
y stellt nun gleichverteilte Zufallszahl aus der Funktion ZUFALLSZAHL() dar, so dass die Auswertung der Formel unmittelbar zum gesuchten normalverteiltem Schwankungswert um den Mittelwert der Reihe führt. Es gilt also:
x0 = m + NOMINV( ZUFALLSZAHL(), m , s) mit m für den Mittelwert und s der zugehörigen Standardabweichung.
Trägt man in die Zelle A1 den Mittelwert ein, in die Zelle A2 die Standardabweichung, dann kann man in Spalte B1 die Formel
=NOMINV(ZUFALLSZAHL(); $A$1; $A$2)
eintragen. Kopiert man diese Formel über eine hinreichende Anzahl von Zellen in der Spalte B, so können Klassenhäufigkeiten festgestellt werden (rote Linie im Diagramm als ergebnis von ca. 12000 Realisierung). Die Summenkurve wird annähern zur Verteilungsfunktion und ist in grün dargestellt.
Da diese Graphen sich jedoch auf die Schwankung um den Mittelwert beziehen, ergibt sich eine normalverteilte Zufallsvariable letztlich zu:
=$A$1+NOMINV(ZUFALLSZAHL();$A$1;$A$2)
Userbild

Damit sollte das Thema zu einem zufriedenstellenden Abschluss gebracht sein, wenn mir kein Fehler bei der ausarbeitung unterlaufen ist.
Gruß!
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AW: Zufallszahlen normalverteilt (exakte Lösung)
19.03.2004 01:45:01
Uwe
Lesen, bildet; und so hat auch mich das Studium der Liste der in EXCEL verfügbaren Statistik-Funktionen fündig werden lassen.
Es gibt die Funktion x = NOMINV( y, m, s ), die das invertierte Gegenstück zur Verteilungsfunktion y = NOMVERT( x, m, s ) darstellt, und die zu vorgegeben p=Element[0,1) das p-Quantil liefert. Matematisch geschrieben:
F(X)N(m;s^2 = NOMVERT(x,m,s^2) := Verteilungsfkt. der N(m;s^2)-verteilte Zufallszahl X.
F-1(p) = NOMINV( y, m, s ) mit y = element [0;1)
Der NOMINV-Graph entspricht dem Graphen, der in den bisherigen Diagrammen in gün gezeichnet ist.
y stellt nun gleichverteilte Zufallszahl aus der Funktion ZUFALLSZAHL() dar, so dass die Auswertung der Formel unmittelbar zum gesuchten normalverteiltem Schwankungswert um den Mittelwert der Reihe führt. Es gilt also:
x0 = m + NOMINV( ZUFALLSZAHL(), m , s) mit m für den Mittelwert und s der zugehörigen Standardabweichung.
Trägt man in die Zelle A1 den Mittelwert ein, in die Zelle A2 die Standardabweichung, dann kann man in Spalte B1 die Formel
=NOMINV(ZUFALLSZAHL(); $A$1; $A$2)
eintragen. Kopiert man diese Formel über eine hinreichende Anzahl von Zellen in der Spalte B, so können Klassenhäufigkeiten festgestellt werden (rote Linie im Diagramm als ergebnis von ca. 12000 Realisierung). Die Summenkurve wird annähern zur Verteilungsfunktion und ist in grün dargestellt.
Da diese Graphen sich jedoch auf die Schwankung um den Mittelwert beziehen, ergibt sich eine normalverteilte Zufallsvariable letztlich zu:
=$A$1+NOMINV(ZUFALLSZAHL();$A$1;$A$2)
Userbild

Damit sollte das Thema zu einem zufriedenstellenden Abschluss gebracht sein, wenn mir kein Fehler bei der ausarbeitung unterlaufen ist.
Gruß!
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AW: Zufallszahlen normalverteilt (exakte Lösung)
19.03.2004 09:53:18
Karl-Otto Reimann
Hallo Uwe
Eigentlich alles kalter Kaffee. Viel interessanter ist folgende Frage:
Lassen sich für =ZUFALLSBEREICH(0;36) mit Hilfe der Binomial- oder
Poissonverteilung hinreichend genaue Vorhersagen für eine Rotation
bei Zugrundelegung des Rotationsmittelwertes (63,72%) machen.
Mit Lösung der Frage verbindet sich automatisch Freibier für alle.
Gruß
Karl-Otto
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AW: Nein, Karl-Otto, kalter Kaffee ...
19.03.2004 10:08:25
Uwe
...ist dies bestimmt nicht, denn es ist m.E. die Antwort auf die gestellte Ausgangsfrage, wohingegen die vorherigen Hinweise an "Antasten" an die Lösung war!
Das Bier ist nicht mein Ding, so dass ich am Wettbewerb wohl nicht teilnehmen werde :-), dennoch läßt sich meines erachtens nahezu jede Verteilung mit dem beschriebenen Verfahren simulieren, wenn nur eine Verteilungsfunktion dargestellt werden kann.
Schönes Wochenende und Gruß!
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Besten Dank
19.03.2004 12:22:26
Alex
Hallo Ich bin derjenige, der die Ausgangsfrage gestellt hatte. Also besten Dank für die zahlreichen und umfangreichen Beiträge!! Versuche jetzt mal in Excel eine normalverteilte Zufallsvariable zu erzeuge.
Mit freundlichen Grüßen
Alex
AW: Zufallszahlen normalverteilt (exakte Lösung)
19.03.2004 14:02:48
Alex
Hallo Uwe!
ich habe deinen Vorschlag = m + NOMINV(ZUFALLSZAHL(),m,s) gerade mal ausprobiert mit einem Mittelwert von 0,5 und einer Standardabweichung von 0,5 und habe aber leider keine Glockenkurve erhalten. Die höheren Werte kamen häufiger vor als geringere Werte. Kann es daran liegen, dass meine Excelversion überaltet ist? Bei mir heißt die Funktion auch nicht NOMINV sondern NORMINV
=$G$1+NORMINV(ZUFALLSZAHL();$G$1;$G$2) Bei 30.000 Durchläufen habe ich diese Häufigkeiten erhalten:
Intervall Häufigkeit
0,00 0,10 388,00
0,10 0,20 568,00
0,20 0,30 755,00
0,30 0,40 1020,00
0,40 0,50 1284,00
0,50 0,60 1631,00
0,60 0,70 1839,00
0,70 0,80 2048,00
0,80 0,90 2284,00
0,90 1,00 2331,00
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AW: Hallo, Alex, eigentlich ...
19.03.2004 20:37:18
Uwe
... sollte sich die Glockenkurve bereits bei ca. 200 Werten erahnen lassen.
In der Formel direkt über dem Diagramm ist jedoch die Addition des Mittelwertes fals, da diese Größe ja natürlich bereits bei den Parametern der unterstellten Normalverteilung erfasst ist.
Schau also einmal, ob Du mit dieser Datei klarkommst und sie weiterentwickeln kannst

Die Datei https://www.herber.de/bbs/user/4494.zip wurde aus Datenschutzgründen gelöscht

(Zip ca. 270kb)
Gruß,
Uwe
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Infobox / Tutorial

Zufallszahlen in Excel: Gleichverteilung und Normalverteilung verstehen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Gleichverteilung erzeugen: Um gleichverteilte Zufallszahlen in Excel zu generieren, kannst Du die Funktion =ZUFALLSZAHL() verwenden. Diese Funktion erzeugt Werte zwischen 0 und 1 und ist gleichverteilt.

  2. Normalverteilung generieren: Um normalverteilte Zufallszahlen zu erzeugen, kannst Du die Formel =NORMINV(ZUFALLSZAHL(); Mittelwert; Standardabweichung) verwenden. Ersetze Mittelwert und Standardabweichung durch die gewünschten Werte. In Excel 2010 und älteren Versionen heißt die Funktion NORMINV, während sie in neueren Versionen NOMINV heißt.

  3. Zufallszahlen im definierten Bereich: Wenn Du Zufallszahlen in einem bestimmten Bereich erzeugen möchtest, kannst Du die Funktion =ZUFALLSBEREICH(x0; x1) verwenden, wobei x0 und x1 die Grenzen des gewünschten Bereichs darstellen.

Häufige Fehler und Lösungen

  • Falsche Glockenkurve: Wenn Du keine Glockenkurve erhältst, kann es daran liegen, dass Du den Mittelwert in der Formel fälschlicherweise addierst. Stelle sicher, dass die Formel korrekt ist:

    =NORMINV(ZUFALLSZAHL(); $G$1; $G$2)

  • Negative Zufallszahlen: In Excel 2003 können negative Zufallszahlen erzeugt werden. Dieses Problem wurde mit einem Hotfix behoben. Stelle sicher, dass Du eine aktuelle Version von Excel verwendest.

  • Zu wenige Datenpunkte: Bei der Erzeugung normalverteilte Zufallszahlen müssen ausreichend Datenpunkte vorhanden sein, um die gewünschte Verteilung zu beobachten. Eine Anzahl von mindestens 200 Werten ist empfohlen.

Alternative Methoden

  • VBA zur Zufallszahlengenerierung: Du kannst auch VBA verwenden, um gleichverteilte und normalverteilte Zufallszahlen zu generieren. Hier ist ein Beispiel für eine Funktion, die gleichverteilte Zufallszahlen generiert:

    Function ZUFALLSBEREICH(a0 As Integer, a1 As Integer)
  ZUFALLSBEREICH = (a1 - a0 + 1) * Rnd()
End Function

  • Summenkurven erstellen: Mit Excel kannst Du die Summenkurve einer Normalverteilung grafisch darstellen, indem Du Deine Daten in einem Diagramm darstellst. Dies hilft Dir, den Unterschied zwischen gleichverteilten und normalverteilten Zufallszahlen zu visualisieren.

Praktische Beispiele

  1. Gleichverteilung: Um gleichverteilte Zufallszahlen zwischen 1 und 10 zu erzeugen, kannst Du folgende Formel verwenden:

    =ZUFALLSBEREICH(1; 10)

  2. Normalverteilung: Für normalverteilte Zufallszahlen mit einem Mittelwert von 5 und einer Standardabweichung von 2:

    =NORMINV(ZUFALLSZAHL(); 5; 2)

  3. Intervallanalyse: Mache eine Häufigkeitsanalyse Deiner generierten Zufallszahlen, um die Verteilung zu überprüfen. Erstelle ein Histogramm, um die Verteilung visuell darzustellen.

Tipps für Profis

  • Die Verwendung von ausreichend großen Datenmengen ist entscheidend, um die Normalverteilung zu beobachten. Versuche es mit mindestens 1000 Zufallszahlen.

  • Nutze die Funktion =NORMVERT(x; Mittelwert; Standardabweichung; Wahr/Falsch) zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten innerhalb einer Normalverteilung.

  • Experimentiere mit verschiedenen Standardabweichungen, um zu sehen, wie sich die Verteilung verändert. Größere Standardabweichungen führen zu einer breiteren Glockenkurve.

FAQ: Häufige Fragen

1. Was ist der Unterschied zwischen gleichverteilten und normalverteilten Zufallszahlen? Gleichverteilte Zufallszahlen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit für jede Zahl im definierten Bereich, während normalverteilte Zufallszahlen um einen Mittelwert gruppiert sind und eine Glockenkurve bilden.

2. Wie kann ich negativ verteilte Zufallszahlen in Excel erzeugen? Um negative Zufallszahlen zu erzeugen, kannst Du die normalverteilte Zufallszahl so anpassen, dass der Mittelwert negativ ist, z.B. =NORMINV(ZUFALLSZAHL(); -5; 2).

3. Welche Excel-Version benötige ich für diese Funktionen? Die beschriebenen Funktionen sind in Excel 2010 und neueren Versionen verfügbar. Ältere Versionen könnten unterschiedliche Funktionsnamen nutzen.

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