Tangente im Diagramm

Forumthread: Tangente im Diagramm

10.02.2016 15:47:40

James

Hallo Zusammen,
Ich habe ein kleines Problem bei Excel und hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
In der Mappe findet ihr ein Diagramm, welches aus den Daten in den Spalten U und T erstellt wurde. Zur weiteren Auswertung würde ich gern Tangenten an die Wendepunkte der so entstandenen Funktion legen. Geht das überhaupt? Wenn ja, wie?
Ich hoffe, ihr könnt mir vielleicht helfen.
Vielen Dank und Liebe Grüße,
Martin
https://www.herber.de/bbs/user/103441.xls

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Anwender

AW: Tangente im Diagramm

11.02.2016 16:45:29

Michael
AW: Tangente im Diagramm

15.02.2016 10:35:20

James
AW: Tangente im Diagramm

15.02.2016 15:43:42

Michael

AW: Tangente im Diagramm

11.02.2016 16:45:29

Michael

Hi James,
die grundsätzliche Vorgehensweise ist:
1. versuche ein Polynom zu finden, das Deinen Werten am ehesten entspricht
Dazu kannst Du in Excel eine (polynomische) Trendlinie (max. 6. Ordnung) einfügen und Dir die Formel anzeigen lassen.
Die Trendlinie liegt nicht ganz exakt auf den Werten, aber ein Polynom 6. Ordnung ist handlich.
2. Bilde die 2. Ableitung des Polynoms und suche die Nullstellen - da sind die Wendepunkte.
Bei einem Polynom 6. Ordnung ist die 2. Ableitung nur 4. Ordnung, das läßt sich arithmetisch lösen. Bei höheren Ordnungen ist das schwieriger.
3. Ermittle die Steigung in der Nullstelle, und Du hast Deine Tangente. D.h., Du setzt das x der Nullstelle in die 1. Ableitung ein - das habe ich hier jetzt *nicht* "exakt" gelöst.
So weit die Theorie; ich habe einige Stunden mit der Geschichte verblödelt, weil die Trendlinienformel anscheinend verkehrt war (auch wenn die Trendlinie selbst brav gezeichnet worden ist), also habe ich's irgendwann aufgegeben und "großes Geschütz" aufgefahren:
a) zunächst einmal braucht man ja das Polynom, und das ist eine Funktion, die sich aber wiederum aus Deinen Werten schlecht ableiten läßt, denn ab ca. 498 liegen einige 100 praktisch "aufeinander", das ist dann eine Relation und keine Funktion.
(Abgesehen davon sind auch die °-Angaben vermischt, was darauf schließen läßt, daß Du uns bei der ganzen Betrachtung eine Spalte unterschlagen hast, etwa den Zeitpunkt der Messung.)
Also habe ich alles ab 498 abgesäbelt, wodurch sich die Daten auf handliche 70 Zeilen reduzieren. Ohnehin wirst Du keine 50 Tangenten im Bereich von 498 bis 501 einzeichnen wollen, selbst wenn es rechnerisch machbar wäre.
b) weisen Deine Werte ganz schöne Sprünge auf: mal sind sie 3° auseinander, mal 30° - da läßt sich natürlich schlecht interpolieren.
Ich habe aus Bereich von ca. 100 - 500 19 Werte, die ca. 22 plusminus auseinanderliegen, genommen, wobei der Wert zu 121 rechnerisch (linear) ermittelt wurde.
c) das Ganze habe ich ein Formelwerk von http://www.excelformeln.de/tips.html?welcher=13
gesteckt, das aus den 19 Werten ein Polynom 16. Ordnung erzeugt.
Das liegt im genannten Wertebereich sehr nahe an den Originalwerten, wovon man sich in Spalte D überzeugen kann.
d) in den Spalten H und I findest Du die 1. und 2. Ableitung, letztere als Kopie in Spalte J ab Zeile 1, um Gepfriemel mit den Formeln zu vermeiden, die in Spalte K das y'' errechnet.
e) die Zeilen 1-20 enthalten das grundlegende Formelwerk, darunter sind Deine Original-Werte mit dem jeweils errechneten y bzw. y'', woraus die zwei Diagramme erstellt wurden.
f) in Spalte L wurde geschaut, ob eine Nullstelle da ist (=L23*L24 kleiner 0) und entsprechend markiert. Weil Deine Werte aber teils so weit auseinander liegen, habe ich noch zwei Makros geschrieben, die von 100 bis 500 in 1er bzw. Zehntel-Schritten das Gleiche machen.
Ausgegeben wird jeweils das (x,y) vor und nach dem Vorzeichenwechsel, d.h. Du hast je zwei Punkte, aus denen Du eine Gerade y=ax+b errechnen kannst. Evtl. kann man hier noch "feiner" iterieren.
Aber: X2000 findet bei beiden Makros nur je 8 Nullstellen - die je 10, die in der Tabelle stehen, wurden von X2007 eingetragen. Ich hab's mit 2003 nicht probiert, aber es wird wohl an der internen Rechengenauigkeit liegen. Soll heißen: kopiere sie weg, bevor Du die Makros aufrufst - am besten nimmst Du ein neueres Excel.
So, dann viel Spaß mit: https://www.herber.de/bbs/user/103467.xls
Schöne Grüße,
Michael

AW: Tangente im Diagramm

15.02.2016 10:35:20

James

Hallo Michael,
Zuerst einmal vielen Dank dafür, dass du da so viel Zeit und Arbeit rein gesteckt hast!
Den ersten Teil deiner Anleitung habe ich gut verstanden und werde hoffentlich im Laufe der Woche dazu kommen, mich auch durch den zweiten Teil "durchzufressen".
Deine Antwort hat mir in jedem Fall schon einmal sehr geholfen!
Achso eins sei dir versichert, in der Mappe, welche ich hochgeladen hatte, waren alle verfügbaren Messdaten, es ist keine Spalte unterschlagen worden:)
Noch einmal vielen Dank für deine Hilfe!
Schöne Grüße
Martin

AW: Tangente im Diagramm

15.02.2016 15:43:42

Michael

Hallo James,
freut mich erst mal so weit.
Meine Vermutung mit einer "hypothetischen" Spalte rührt von der Annahme her, daß Messungen periodisch vorgenommen werden - diese Zeitachse ist nicht vorhanden...
Zu f) und dem folgenden Absatz nochmal: je nachdem, wie weit die beiden gefundenen Punkte von der eigentlichen Nullstelle entfernt sind, ist die Steigung der Tangente mehr oder weniger "richtig".
Wenn man die Iteration so weit verfeinert, daß man den "echten" (in "" wegen des Problems mit der Rechengenauigkeit) Nullpunkt findet, kann man auch das x des Nullpunkts in f' einsetzen: die 1. Ableitung ist ja die Steigung in dem Punkt.
Schöne Grüße & happy exceling,
Michael

Infobox / Tutorial

Tangente im Diagramm anlegen und berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung
Häufige Fehler und Lösungen
Alternative Methoden
Praktische Beispiele
Tipps für Profis
FAQ: Häufige Fragen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Daten eingeben: Stelle sicher, dass Deine Messwerte in Excel richtig eingegeben sind. Die Werte sollten in zwei Spalten angeordnet sein, z.B. in Spalte U und T.
Diagramm erstellen: Wähle die Daten aus und füge ein Diagramm ein. Gehe zu Einfügen → Diagramme und wähle den gewünschten Diagrammtyp.
Trendlinie hinzufügen: Wähle das Diagramm aus und klicke mit der rechten Maustaste auf die Datenreihe. Wähle Trendlinie hinzufügen. Entscheide dich für eine polynomische Trendlinie (max. 6. Ordnung), um die Funktion zu approximieren.
Formel anzeigen lassen: Aktiviere die Option Formel im Diagramm anzeigen, um die Gleichung der Trendlinie zu erhalten.
Ableitungen berechnen: Berechne die erste und zweite Ableitung der Trendlinie. Du kannst dies manuell tun oder mithilfe von Excel-Formeln. Die erste Ableitung gibt Dir die Steigung an, während die zweite Ableitung Dir hilft, die Wendepunkte zu bestimmen.
Wendepunkte finden: Suche nach den Nullstellen der zweiten Ableitung. Diese Punkte sind die Wendepunkte, an denen Du die Tangente einzeichnen möchtest.
Tangente anlegen: Berechne die Tangente in der Nähe der Wendepunkte, indem Du die x-Koordinate des Wendepunkts in die erste Ableitung einsetzt, um die Steigung zu erhalten. Verwende dann die Punkt-Steigungsformel (y = mx + b), um die Tangente zu zeichnen.

Häufige Fehler und Lösungen

Trendlinie zeigt nicht die erwartete Funktion an: Überprüfe die Daten auf Ausreißer oder Inkonsistenzen. Manchmal kann es helfen, die Daten zu filtern oder zu glätten, um bessere Ergebnisse zu erzielen.
Nullstellen werden nicht gefunden: Stelle sicher, dass die zweite Ableitung korrekt berechnet wurde. Nutze die Excel-Funktion WENN, um Nullstellen zu identifizieren.
Tangente ist nicht korrekt positioniert: Achte darauf, die richtige x-Koordinate zu verwenden. Manchmal kann ein kleiner Fehler in den Berechnungen die Position der Tangente beeinflussen.

Alternative Methoden

Verwendung von Makros: Wenn Du mit großen Datenmengen arbeitest, kann es sinnvoll sein, ein Makro zu verwenden, um die Ableitungen und Wendepunkte automatisiert zu berechnen.
Excel-Add-Ins: Es gibt spezielle Add-Ins für Excel, die erweiterte mathematische Funktionen bieten und die Berechnung von Ableitungen und Tangenten erleichtern.

Praktische Beispiele

Beispiel 1: Angenommen, Du hast Messwerte für eine Funktion, die den Verlauf einer Kurve beschreibt. Nach dem Einfügen der Trendlinie und der Berechnung der Ableitungen, stellst Du fest, dass die Wendepunkte bei x=3 und x=5 liegen. Die Tangente bei x=3 hat die Steigung 2. Die Gleichung wäre dann: y = 2x - 6.
Beispiel 2: Bei der Analyse von Temperaturmessungen über einen Monat könntest Du eine Vielzahl von Wendepunkten feststellen. Berechne die Tangenten an diesen Punkten, um die Temperaturveränderungen zu visualisieren.

Tipps für Profis

Daten sorgfältig aufbereiten: Achte darauf, dass Deine Daten gut strukturiert sind, um präzise Trendlinien und Ableitungen zu erhalten.
Verwende benutzerdefinierte Formeln: Manchmal kann es hilfreich sein, eigene Formeln zu erstellen, um spezifische Berechnungen für Deine Daten durchzuführen.
Diagramme anpassen: Nutze die Formatierungsoptionen in Excel, um Deine Diagramme ansprechender zu gestalten. Farbkodierungen und Beschriftungen können die Lesbarkeit verbessern.

FAQ: Häufige Fragen

1. Wie kann ich die Steigung einer Tangente in Excel berechnen? Du kannst die erste Ableitung der Funktion verwenden und die x-Koordinate des Punktes, an dem Du die Tangente zeichnen möchtest, einsetzen.

2. Was ist der Unterschied zwischen erster und zweiter Ableitung? Die erste Ableitung gibt die Steigung der Funktion an (also wie schnell sich y ändert), während die zweite Ableitung Aufschluss über die Krümmung der Funktion gibt, was hilft, Wendepunkte zu bestimmen.

3. Kann ich Tangenten für jede Art von Diagramm in Excel erstellen? Ja, solange Du die entsprechenden Daten hast und die Funktion approximieren kannst, kannst Du Tangenten in verschiedenen Diagrammtypen einfügen.

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