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HERBERS
Excel-Forum (Archiv)
20+ Jahre Excel-Kompetenz: Von Anwendern, für Anwender
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Tangente im Diagramm

Tangente im Diagramm
10.02.2016 15:47:40
James
Hallo Zusammen,
Ich habe ein kleines Problem bei Excel und hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
In der Mappe findet ihr ein Diagramm, welches aus den Daten in den Spalten U und T erstellt wurde. Zur weiteren Auswertung würde ich gern Tangenten an die Wendepunkte der so entstandenen Funktion legen. Geht das überhaupt? Wenn ja, wie?
Ich hoffe, ihr könnt mir vielleicht helfen.
Vielen Dank und Liebe Grüße,
Martin
https://www.herber.de/bbs/user/103441.xls

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Datum
Anwender
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AW: Tangente im Diagramm
11.02.2016 16:45:29
Michael
Hi James,
die grundsätzliche Vorgehensweise ist:
1. versuche ein Polynom zu finden, das Deinen Werten am ehesten entspricht
Dazu kannst Du in Excel eine (polynomische) Trendlinie (max. 6. Ordnung) einfügen und Dir die Formel anzeigen lassen.
Die Trendlinie liegt nicht ganz exakt auf den Werten, aber ein Polynom 6. Ordnung ist handlich.
2. Bilde die 2. Ableitung des Polynoms und suche die Nullstellen - da sind die Wendepunkte.
Bei einem Polynom 6. Ordnung ist die 2. Ableitung nur 4. Ordnung, das läßt sich arithmetisch lösen. Bei höheren Ordnungen ist das schwieriger.
3. Ermittle die Steigung in der Nullstelle, und Du hast Deine Tangente. D.h., Du setzt das x der Nullstelle in die 1. Ableitung ein - das habe ich hier jetzt *nicht* "exakt" gelöst.
So weit die Theorie; ich habe einige Stunden mit der Geschichte verblödelt, weil die Trendlinienformel anscheinend verkehrt war (auch wenn die Trendlinie selbst brav gezeichnet worden ist), also habe ich's irgendwann aufgegeben und "großes Geschütz" aufgefahren:
a) zunächst einmal braucht man ja das Polynom, und das ist eine Funktion, die sich aber wiederum aus Deinen Werten schlecht ableiten läßt, denn ab ca. 498 liegen einige 100 praktisch "aufeinander", das ist dann eine Relation und keine Funktion.
(Abgesehen davon sind auch die °-Angaben vermischt, was darauf schließen läßt, daß Du uns bei der ganzen Betrachtung eine Spalte unterschlagen hast, etwa den Zeitpunkt der Messung.)
Also habe ich alles ab 498 abgesäbelt, wodurch sich die Daten auf handliche 70 Zeilen reduzieren. Ohnehin wirst Du keine 50 Tangenten im Bereich von 498 bis 501 einzeichnen wollen, selbst wenn es rechnerisch machbar wäre.
b) weisen Deine Werte ganz schöne Sprünge auf: mal sind sie 3° auseinander, mal 30° - da läßt sich natürlich schlecht interpolieren.
Ich habe aus Bereich von ca. 100 - 500 19 Werte, die ca. 22 plusminus auseinanderliegen, genommen, wobei der Wert zu 121 rechnerisch (linear) ermittelt wurde.
c) das Ganze habe ich ein Formelwerk von http://www.excelformeln.de/tips.html?welcher=13
gesteckt, das aus den 19 Werten ein Polynom 16. Ordnung erzeugt.
Das liegt im genannten Wertebereich sehr nahe an den Originalwerten, wovon man sich in Spalte D überzeugen kann.
d) in den Spalten H und I findest Du die 1. und 2. Ableitung, letztere als Kopie in Spalte J ab Zeile 1, um Gepfriemel mit den Formeln zu vermeiden, die in Spalte K das y'' errechnet.
e) die Zeilen 1-20 enthalten das grundlegende Formelwerk, darunter sind Deine Original-Werte mit dem jeweils errechneten y bzw. y'', woraus die zwei Diagramme erstellt wurden.
f) in Spalte L wurde geschaut, ob eine Nullstelle da ist (=L23*L24 kleiner 0) und entsprechend markiert. Weil Deine Werte aber teils so weit auseinander liegen, habe ich noch zwei Makros geschrieben, die von 100 bis 500 in 1er bzw. Zehntel-Schritten das Gleiche machen.
Ausgegeben wird jeweils das (x,y) vor und nach dem Vorzeichenwechsel, d.h. Du hast je zwei Punkte, aus denen Du eine Gerade y=ax+b errechnen kannst. Evtl. kann man hier noch "feiner" iterieren.
Aber: X2000 findet bei beiden Makros nur je 8 Nullstellen - die je 10, die in der Tabelle stehen, wurden von X2007 eingetragen. Ich hab's mit 2003 nicht probiert, aber es wird wohl an der internen Rechengenauigkeit liegen. Soll heißen: kopiere sie weg, bevor Du die Makros aufrufst - am besten nimmst Du ein neueres Excel.
So, dann viel Spaß mit: https://www.herber.de/bbs/user/103467.xls
Schöne Grüße,
Michael

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AW: Tangente im Diagramm
15.02.2016 10:35:20
James
Hallo Michael,
Zuerst einmal vielen Dank dafür, dass du da so viel Zeit und Arbeit rein gesteckt hast!
Den ersten Teil deiner Anleitung habe ich gut verstanden und werde hoffentlich im Laufe der Woche dazu kommen, mich auch durch den zweiten Teil "durchzufressen".
Deine Antwort hat mir in jedem Fall schon einmal sehr geholfen!
Achso eins sei dir versichert, in der Mappe, welche ich hochgeladen hatte, waren alle verfügbaren Messdaten, es ist keine Spalte unterschlagen worden:)
Noch einmal vielen Dank für deine Hilfe!
Schöne Grüße
Martin

AW: Tangente im Diagramm
15.02.2016 15:43:42
Michael
Hallo James,
freut mich erst mal so weit.
Meine Vermutung mit einer "hypothetischen" Spalte rührt von der Annahme her, daß Messungen periodisch vorgenommen werden - diese Zeitachse ist nicht vorhanden...
Zu f) und dem folgenden Absatz nochmal: je nachdem, wie weit die beiden gefundenen Punkte von der eigentlichen Nullstelle entfernt sind, ist die Steigung der Tangente mehr oder weniger "richtig".
Wenn man die Iteration so weit verfeinert, daß man den "echten" (in "" wegen des Problems mit der Rechengenauigkeit) Nullpunkt findet, kann man auch das x des Nullpunkts in f' einsetzen: die 1. Ableitung ist ja die Steigung in dem Punkt.
Schöne Grüße & happy exceling,
Michael
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