bivariate Normalverteilung, Verteilungsfunktion

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Function BIVARIATE_NV(x1 As Range, my1 As Range, sigma1 As Range, _ x2 As Range, my2 As Range, sigma2 As Range, _ rho As Range) As Double Dim A As Double, a0 As Double, S1 As Double, S2 As Double, S12 As Double Dim pi As Double pi = 4 * Atn(1) A = 1 / (2 * pi * sigma1 * sigma2 * Sqr(1 - rho ^ 2)) a0 = -1 / (2 * (1 - rho ^ 2)) S1 = (x1 - my1) / sigma1: S1 = S1 * S1 S2 = (x2 - my2) / sigma2: S2 = S2 * S2 S12 = -2 * rho * (x1 - my1) * (x2 - my2) / (sigma1 * sigma2) BIVARIATE_NV = A * Exp(a0 * (S1 + S2 + S12)) End Function

Hallo, Tobias,
um Deine erste Frage, die da lautete: «Wie muss ich denn deinen Code implementieren, damit die Funktion bei mir funktioniert.», zu beantworten, hier eine Schrittfolge des Vorgangs:

Mit der Tastenkombination [ALT][F11] öffnest Du, wenn Du Dich in der Arbeitsmappe befindest, in der Du den Funktionscode einfügen möchtest, den VBA-Editor.

Für die Arbeitsmappe wird mit dem Menübefehl Einfügen::Modul (altern. Lokales Menü im Projektfenster) ein Modul-Ordner angelegt, sofern kein vorhandener genutzs werden soll.

Den Modulordner öffnen. Es erscheint das Codefenster, in das der Programmcode zu kopieren ist.

Die Tastenkombination [ALT][F11] erneut betätig, führt in die EXCEL-Arbeitsmappe zurück.

Wähle einen Zellenbereich, z.B. $F$2:$G$3, $G$4 für MEU1, SIGM1, MUE2, SIGM2, RHO

Benenne die Zellen mit den Namen, wenn Du diese Namen in den Zellenformeln verwenden möchtest (ansonsten sind die Zellenbezüge Spalten-Litteral/Zeielnnummer zu verwende)

Richte den Spaltenbereich der Z1-Skalierung ein, z.B. $E$6:$E$16 und trage die Skalenwerte ein (ggf. nach Schrittweite und Anzahl verändern)

Richte den Zeilenbereich der Z2-Skalierung ein, z.B. $F$5:$F$21 und trage die Skalenwerte ein (ggf. nach Schrittweite und Anzahl verändern)

Trage in F6 die benutzerdefinierte Zellenformel "=BIVARIATE_NV($E6, my1, sigma1, F$5, my2, sigma2, rho) ein (Namensbezüge ggf. durch Spalten/Zeilenbezüge ersetzen).
" enstprechend dem Muster im P.S. meiner vorherigen Nachrit ein

Ziehe die Formel über die Zeilen und Spalten

Die Tabelle der Dichtefunktion im gewählten Bereich ist erstellt und kann als Oberflächendiagramm dargestellt werden.
Alternativ zur benutzerdefinierten Zellenformel, kann auch direkt die Zellenformel in die Tabelle eingetrahen werden:
=1/(2*PI()*sigma1*sigma2*WURZEL(1-rho^2))*EXP(-0,5/(1-rho^2)*((($E6-mue1)/sigma1)^2-2*rho*(($E6-mue1)/sigma1)*((F$5-mue2)/sigma2)+((F$5-mue2)/sigma2)^2))
Deine nächste Frage, Tobias («Weisst du zufällig, ob sich die Verteilungsfunktion der bivariaten NV wirklich über Integration der Dichtefunktion numerisch berechnen lässt?» weiß ich nicht recht zu beantworten, da sie doch den grundlegenden Zusammenhang zwischen Dichte- und Verteilungsfunktion anspricht, oder worauf wolltest Du mit der Frage zielen?
Zur Integration mit EXCEL ist zu sagen, dass natürlich die programmierbaren Ansätze der numerischen Mathematik in EXCEL eingebunden werden können (VBA, DLL, EXCEL-Zellenformeln), insbesondere die zweidimensonale Integration über bekannte Algorithmen.
Es gibt allerdings bessere Werkzeuge diese durchzuführen und so stellt sich die Frage, für welche Anwendungen Du die Ergebnisse benötigst. Vielleicht würde sich auch so erkennen lassen, ob Deine Datenreihen nicht in eine Standardnormalverteilte Zufallsreihen überführt werden kann.
Ein VBA-Grundgerüst-Programm zur zweidimensionalen Integration könnte ich später erstellen (sofern es nicht im Netz irgendwo vorhanden ist); jedoch da Du nicht über die VBA-Kenntnise verfügst, dieses zu üerarbeiten und zu ergänzen, dann ist es vielleicht nicht vorteilhaft, hier dieses zu veröffentlichen, da mir die Zeit fehlt, die notwendige Austestphase durchzuführen.
Gruß,
Uwe
P.S.
Korrekturlesen aus zeitlichen Gründen nicht mehr möglich; bitte um Nachsicht.

Hallo, Tobias,
eine geschlossene Formel ist die numerische Integration nicht. Bildlich und vereinfacht erläutert, gandelt es sich um die Summation von Teilbereichen unter der "Oberfläche" der Dichtefuznktion, wobei für die Teilbereich die verwendeten Stützpunkte verschieden gesetzt werden.
Die einfachste Regel wäre die Trapezregel, bei der jeder Teilsummand, der einen Anteil an der Verteilungsfunktion liefert, durch Grundfläche der vier Eckpunkte des Bereichs {Z₁,Z₂}::{Z₁+h_z₁, Z₂+h_z₂} multiplizert mit dem Mittelwert der vier Dichtewerte Z_i;Z_k.
Es gibt weitere numerische Algorithmen zu Integration, u.a. die Gauß-Lendrade-Kubatur-Formel:
C_Nodes9 = (h_x*h_y/324) * [ 64*f(h_x/2;h_y/2) + 25*Sum((h_{x_E(i,j)};h_{y_E(i,j)}) + 40*Sum((h_{x_S(i,j)};h_{y_S(i,j)})
wobei neun Funktionswerte de Dichtefünktion als Stützbunkte im Rechteck-Teilbereich benutzt werden: der Funktionswert des Zentrumspunkts, sowie jewils die vier Funktionwerte der Eckpunkte (E) und der Mittelpunkte (S) der Verbindungslinien dieser Eckunkte, die auf einem im Bereich gelegenen Rechteck sich befinden.
Mit dieser Formel und mit der Dichtewerte aus o.g. gegebener Dichtefunktion erhält man mit einem VB(A)-Programm die Werte für diese Diagramme (Programm nicht veröffentlich, da noch nicht abschließend geprüft; Beta(-10)-Phase):

(Auf Bildfläche zum Vergrößern klicken)
Nun ist es bei normalverteilten Zufallsahlen so, dass der Gipfel über dem Mittelwertspunkt {m₀, m₀} liegt (der Koordinatenurprung wurde auf den Punkt {z₁ = m₀ - 2*sigma₀; z₂ = 2-*sigma₀} gelegt, wobei m₀ und sigma₀ die Kennwerte sind, die zur Erzeugung der beiden Zuffalsreihen z₁ und z₂ benutzt wurden und als Rasterweite habe ich für die Diagramme sigma₀/3 gewählt).
Die Verteilungsfunktionwerte werden anolag zur Vorgehensweise, wie sie für bei der Dichtefunktion eingesetzt wurde, durch eine benutzerdefinierten Zellenformel bestimmt, die die numerische Integration ausführt.
Dieses soll also nur zeigen, dass die numerische Intehration mit EXCEL durchführbar ist. Ich wünsche Dir Erfolg bei weiteren Recherchen zum Thema.
Gruß,
Uwe

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